Toán chuyên đề: CÁCH CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

loading...

CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Mô tả:

Phạm vi: Toán lớp 9.

Chuyên đề: Cách chứng minh số KHÔNG CHÍNH PHƯƠNG

Phương pháp 1. Nhìn chữ số tận cùng:

Cơ sở: Vì số chính phương bằng bình phương của một số nên suy ra số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9.

Như vậy, số có chữ số tận cùng: 2, 3,7,8 chắc chắn là số KHÔNG chính phương.

Lưu ý:  Số đã cho có chữ số tận  cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhưng chưa chắc là số chính phương mà có thể sẽ là số KHÔNG chính phương, khi đó ta phải lưu ý thêm: Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p²

Ví dụ minh họa:

Bài toán 1: Chứng minh số: n = 2004² + 2003² + 2002² - 2001². Không là số chính phương.

Lời giải

-         Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 2004²,2003²,2002²,2001²lần lượt là 6,9,4,1.

-         Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính phương.

Bài toán 2: Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương.

Lời giải

-         Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90).

-         Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Hoặc: Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.

Lời giải:

-         Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.

=>  số này không phải là số chính phương.

Phương pháp 2: Dùng tính chất của số dư.

Bài toán 4. Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương

Lời giải

          - Ở đây ta không gặp trường hợp như bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phương pháp khác.

          Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 dư 2 nên ta có lời giải sau:

          - Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà thôi (đây là kết quả của bài toán mà ta dễ dàng chứng minh được).

          - Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Nên số đó không phải là  số chính phương.

Bài toán 5: Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.

Bài toán 6: Chứng minh số: 2004⁴ + 2004³ + 2004² + 23 không phải là số chính phương.

Phương pháp 3: Tình huống chứng minh n không là số chính phương nhưng n chia cho 3 vẫn dư 0 hoặc 1.

VD: Bài toán 7: Chứng minh số: n = 4⁴ + 44⁴ + 444⁴ + 4444⁴ + 15 không là số chính phương.

Nhận xét:

-         Nếu chia n cho 3 số dư sẽ là 1. Vậy không giải được theo cách của bài toán 3,4,5,6.

-         Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không giải  được theo cách của bài toán 1,2.

Vậy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta có thể cm):

Một số chính phương khi chia cho 4 thì số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1. Lúc đó ta sẽ giải được bài toán này.

Phương pháp 4: Phương pháp kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp: n² và (n+1)².

Ta thấy: Nếu n và k  N và thỏa mãn điều kiện: n² < k < (n+1)² thì lúc đó k không phải là số chính phương.

Bài toán 8.: Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phương.

Nhận xét:

Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 cũng dư 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên.

Lời giải

Ta thấy:  2003² = 401209; 2004²= 4016016. Nên  2003²< 4014025 < 2004². Chứng tỏ số 4014025  không phải là số chính phương.

Bài toán 9.

Chứng minh:

A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính phương với mọi nN, n0

Nhận xét:  Nếu đã quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là số chính phương (  bài toán lớp 8) nhưng lớp 6,7 có thể giải theo cách sau.

Lời giải

Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1

                   = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1

                   = (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

                   = (n²+3n +1)²

Mặt khác        (n² + 3n)² < (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) = A

Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ

(n² + 3n)² < A < A+1= (n²+3n +1)². Suy ra A không phải là số chính phương.

Một số  bài toán khác.

Bài 10.

Chứng tỏ số:   23⁵+23¹²+23²⁰⁰³không là số chính phương.

Gợi ý:  Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4

Bài 11.

Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh được ghi một trong các số từ 1 đến 1001 (không có mảnh nào ghi khác nhau). Chứng minh rằng không thể ghép tất cả các mảnh bìa đó liền nhau để được một số chính phương.

Bài 12.

Chứng minh rằng tổng bình phương của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.

Gợi ý:  Nghĩ đến phép chia cho 4

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1.   Chứng minh rằng tổng của n số lẻ đầu tiên là một số chính phương.

LG.

Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên:

S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1).

Lúc này ta phải xét hai trường hợp: n chẵn và n lẻ.

Trường hợp 1:   n chẵn

S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+...    Có n/2 số hạng , mà mỗi số hạng có giá trị là 2n

Vậy S = 2n.  = n².

Trường hợp 2: n lẻ

Để tính S ta cũng ghép như trường hợp trên nhưng ta được  số hạng, mỗi số hạng có giá trị là 2n. Nên tổng  S =  .2n + n = = n²

Vậy S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1) = n² nên S là một số chính phương.

Từ bài toán trên ta cũng có nhận xét tổng quát:

Tổng các số lẻ đầu tiên thì bằng bình phương của số các số ấy

Bài 2.

Chứng minh một số là số chính phương khi và chỉ khi số ước của nó là một số lẻ.

Bài 3.

Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm như sau:

Số đó là số chính phương, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì được một số cũng là số chính phương. Tìm số xe của bạn Hùng.

-------------------------------------------------------------------------------------------------
Chào mừng bạn viếng thăm blog Toán chuyên đề! -+- Mọi ý kiến đóng góp vui lòng để lại comment phía dưới. -+- Nếu thấy bài viết có ích, hãy chia sẻ cho bạn bè bằng cách bấm vào nút M (Hoặc B, T, F, +1) phía dưới.-+- Vui lòng trích ghi rõ nguồn http://toanchuyende.blogspot.com hoặc gắn link bài viết này khi sao chép, đăng tải lại thông tin. Trân trọng cám ơn! -------------------------------------------------------------------- Blog là một thú vui!

_________________
Quan trắc môi trường, quan trắc môi trường định kỳ, dịch vụ quan trắc môi trường, phân tích mẫu môi trường, phòng thí nghiệm môi trường, công ty môi trường uy tín, dịch vụ môi trường Hà Nội, lập báo cáo đánh giá tác động môi trường, ĐTM, tư vấn môi trường, hồ sơ môi trường doanh nghiệp, xin giấy phép môi trường, lập báo cáo ĐTM, lập kế hoạch bảo vệ môi trường, đăng ký sổ chủ nguồn thải, báo cáo công tác bảo vệ môi trường, hồ sơ cấp phép xả thải, giấy phép môi trường, hồ sơ môi trường cho nhà máy sản xuất, tư vấn thủ tục môi trường, phân tích nước thải, khí thải, bụi, lấy mẫu quan trắc nước thải, lấy mẫu khí thải ống khói, đo đạc môi trường lao động, đo tiếng ồn, độ rung, ánh sáng, đo vi khí hậu nơi làm việc, dịch vụ môi trường cho nhà máy, hồ sơ môi trường cho cơ sở sản xuất, báo cáo môi trường cho khu công nghiệp, hồ sơ môi trường cho trạm xăng, nhà hàng, khách sạn, quan trắc môi trường Hà Nội, tư vấn môi trường Hà Nội, công ty môi trường tại Hà Nội, lập hồ sơ môi trường Bắc Ninh, lập hồ sơ môi trường Hưng Yên, lập hồ sơ môi trường Hải Phòng, dịch vụ môi trường Hưng Yên,dịch vụ môi trường Hà Nội,dịch vụ môi trường Bắc Ninh,dịch vụ môi trường Phú Thọ,quan trắc môi trường định kỳ, dịch vụ quan trắc môi trường, quan trắc nước thải, khí thải, không khí, phân tích mẫu nước, mẫu đất, khí thải, đo môi trường lao động, tiếng ồn, vi khí hậu, lập hồ sơ môi trường doanh nghiệp, tư vấn lập báo cáo ĐTM, kế hoạch bảo vệ môi trường, đề án bảo vệ môi trường đơn giản, báo cáo công tác bảo vệ môi trường, xin giấy phép môi trường, giấy phép xả thải, sổ đăng ký chủ nguồn thải, giấy phép khai thác nước ngầm, cấp phép xử lý chất thải nguy hại, tư vấn môi trường trọn gói, tư vấn hồ sơ môi trường nhà máy, dịch vụ môi trường cho khu công nghiệp, tư vấn pháp lý môi trườn, đo tiếng ồn nơi làm việc, đo độ rung, ánh sáng, bụi, khí độc, đo vi khí hậu, hơi khí độc, nhiệt độ, đánh giá điều kiện lao động, báo cáo ĐTM là gì, thủ tục xin giấy phép môi trường, chi phí quan trắc môi trường bao nhiêu, quy trình quan trắc môi trường định kỳ, hồ sơ môi trường doanh nghiệp gồm những gì, thời gian thực hiện hồ sơ môi trường, quy định mới về bảo vệ môi trường, mẫu báo cáo quan trắc định kỳ, quan trắc môi trường , quan trắc môi trường định kỳ , phân tích mẫu nước , phân tích mẫu khí thải , đo môi trường lao động , đo tiếng ồn , đo bụi , đo vi khí hậu , lấy mẫu nước thải , đo ánh sáng , quan trắc khí thải ống khói , đo hơi khí độc , đo vi sinh trong không khí, báo cáo ĐTM , kế hoạch bảo vệ môi trường , đề án bảo vệ môi trường , hồ sơ môi trường doanh nghiệp , hồ sơ môi trường nhà máy , báo cáo công tác bảo vệ môi trường , báo cáo quản lý chất thải , hồ sơ xả thải, xin giấy phép môi trường , giấy phép xả thải , đăng ký sổ chủ nguồn thải , giấy phép khai thác nước ngầm , giấy phép xử lý chất thải nguy hại , hồ sơ cấp phép môi trường,
_________________